Formalisering
Redan Aristoteles insåg att giltigheten hos en sats enbart beror på dess struktur eller logiska form. För att avgöra om en sats är giltig behöver vi därför hitta ett sätt att beskriva dess logiska form. Detta gör vi genom att dela upp den i flera mindre komponenter, något som kallas formalisering och påminner om matematiska ekvationer. Därmed kan olika slutledningar få samma satslogiska form även om de handlar om helt olika saker.
Låt oss formalisera ett enkelt påstående om världen genom att beteckna de olika satserna med bokstäverna A och B, där A=”inflationen är låg” och B=”arbetslösheten är hög”.
Nu ser vi tydligt hur själva formen för resonemanget skiljer sig mellan exempel 4 och 5. Man kan också tydligt se att slutledningen i exempel 5 inte är korrekt.
Beteckningarna A och B skall inte ses som ersättare av enstaka ord, utan kan mycket väl ersätta en hel sats. I satsen ”om du stänger dörren och släcker ljuset, så blir jag glad” kan vi formalisera delsatserna med bokstavssymboler och få uttrycket: Om A och B, så C.
Notera att satsen ”om solen skiner och det är varmare än 25 grader, så stannar jag hemma” har exakt samma satslogiska form.
| Påstående | Formalisering | |
|---|---|---|
| premiss 1: Om inflationen är låg, så är arbetslösheten hög. | Om A, så B | |
| premiss 2: Inflationen är låg. | A | |
| slutsats: Arbetslösheten är hög. | B |
| Påstående | Formalisering | |
|---|---|---|
| premiss 1: Om inflationen är låg, så är arbetslösheten hög. | Om A, så B | |
| premiss 2: Arbetslösheten är hög. | B | |
| slutsats: Inflationen är låg. | A |
Satssymboler
Symbolerna vi använder för att ersätta ord eller delsatser under en formalisering, till exempel A, B och C, kallas för satssymboler. Givetvis kan man använda vilka bokstäver som helst för ändamålet, men av tradition används i filosofisammanhang ofta bokstäverna P och Q.
Nästa steg är att byta ut även de andra orden i satsen mot ett så kallat konnektiv. Satslogiken (den logik vi här tittar på) är relativt begränsad i vilka betydelser (vilka ord) den kan formalisera men räcker i regel för enklare formuleringar. I tabellen ovan finner du en lista på konnektiv och deras symboliska beteckningar:
Precis som i matematiska formler kan man ibland behöva använda sig av parenteser för att beskriva vilken ordningsföljd konnektiven skall appliceras. Därtill är konnektiven olika starka inbördes, på samma sätt som × är starkare än + inom matematiken. Negationen är starkast och opererar därför först. Därefter är konjunktion och disjunktion är lika starka, sist kommer implikation och ekvivalens. Om parenteser inte visar annat, så opererar det starkaste konnektivet först och det svagaste sist.
Negation (¬, inte)
I vårt vardagsspråk finns det många synonymer till ”inte”, eller negering, som det egentligen kallas. Vi använder ord som inte, nej, icke, ej, aldrig eller det var inte fallet att med ungefär samma innebörd. Inom satslogiken har man dock bara ett sätt att uttrycka negation, man sätter symbolen ”¬” direkt framför det som skall negeras.
Formuleringen ”det regnar” kan i vardagsspråk negeras på en mängd sätt, exempelvis ”det regnar inte”, ”regnar gör det ej”, ”det är inte fallet att det regnar”. Dessa formuleras samtliga som ¬A, där A står för den ursprungliga satsen ”det regnar”.
Ibland kan det vara svårt att se exakt vad som negeras, särskilt om satserna är komplicerade. Var extra vaksam på dubbel negation som tar ut varandra, precis som inom matematiken.
5.3.1 Instuderingsfrågor
Konjunktion (∧, och)
Till vardags knyter vi ofta ihop satser med hjälp av bindeordet ”och”. På detta sätt kan två satser bilda en ny sats som är sann endast om de bägge ursprungliga satserna är sanna. I satslogiken gör vi detsamma med hjälp av symbolen ”∧”.
A ∧ B kallas konjunktionen av A och B, och är alltså sann endast om både A och B är sanna. Satsen ”det regnar och blåser” är därmed en konjunktion av satserna ”det regnar” och ”det blåser”, och sann om och endast om bägge grundsatserna är sanna, det vill säga att det både regnar och blåser ute.
Formuleringen ”Stockholm, Göteborg och Malmö är storstäder” är att betrakta som en konjunktion av satserna ”Stockholm är en storstad” och ”Göteborg är en storstad” och ”Malmö är en storstad” och formaliseras A ∧ B ∧ C.
I regel är det alltså och man ersätter med konjunktionstecknet ∧ men det finns undantag. I formuleringen ”det är soligt, men det blåser” är det ordet men som ersätts med ∧ då formuleringen motsvarar satserna ”det är soligt och det blåser”, A ∧ B.
Inte heller är varje förekomst av och automatiskt ∧. Satsen ”Kalle och Lisa slår vad” menar något annat, åtminstone i gängse tolkning. Satsen innehåller ingen konjunktion (eller annat konnektiv) och formaliseras därmed bara som A.
5.3.2 Instuderingsfrågor
Disjunktion (∨, eller)
Ett annat vanligt förekommande vardagsord är ”eller”. Genom detta knyter vi ihop satser till en ny sats som är sann om den ena eller bägge är sanna. I satslogiken gör vi detta med hjälp av symbolen ”∨”. Satsen ”jag skall studera tyska eller franska” formuleras således A ∨ B.
Det finns dock en viktig sak att notera med disjunktionen, nämligen att vi i vardagligt tal har två typer av eller. En variant, kallad inklusiv disjunktion, är sann om antingen A är sann, eller B är sann, eller både A och B är sanna. Satsen ”det är dåligt väder när det regnar eller blåser” är (i de flesta fall) ett exempel på detta. Det är också denna typ av eller som avspeglas i formaliseringen A ∨ B.
Ibland menar vi dock något annat i språket, vi menar att det är antingen A eller B som är sann men inte bägge samtidigt. När du frågar ”Vill du ha kaffe eller te?” så gör man det som en exklusiv disjunktion (antingen A eller B men inte båda). Samma sak gäller formuleringen ”ska jag svänga höger eller vänster”. Det är det ena eller det andra, inte bägge samtidigt.
Exklusiv disjunktionen skrivs som följande inom satslogiken: (A ∨ B) ∧ ¬( A ∧ B). Detta utläses som ”A eller B men inte A och B”.
5.3.3 Instuderingsfrågor
Implikation (➝, om… så…)
Den så kallade implikationen, ”➝”, förenar två påståenden till ett nytt påstående med betydelsen att om det ena påståendet gäller så gäller även det andra. Detta motsvaras i dagligt tal av konstruktionen ”om A så B” till exempel i satsen ”om temperaturen i behållaren stiger så ökar trycket”. Det är också implikation vi använder när vi drar en slutledning om någonting.
Formen blir logiskt falsk enbart när förledet (det som står till vänster) är sant och efterledet (det som står till höger) är falskt. Utifrån påståendet ”om det snöar så är det kallt”, A ➝ B, kan det inte vara så att det faktiskt snöar (A är sant) men inte är kallt (B är falskt). Då finns det ett logiskt fel någonstans. Låt oss återigen titta på ett välbekant exempel:
5.3.4 Instuderingsfrågor
| Påstående | Formalisering | |
|---|---|---|
| premiss 1: Om inflationen är låg, så är arbetslösheten hög. | A ➝ B | |
| premiss 2: Inflationen är låg. | A | |
| slutsats: Arbetslösheten är hög. | B |
| Påstående | Formalisering | |
|---|---|---|
| premiss 1: Om inflationen är låg, så är arbetslösheten hög. | A ➝ B | |
| premiss 2: Arbetslösheten är hög. | B | |
| slutsats: Inflationen är låg. | A |
Ekvivalens (⟷, om och endast om)
Det sista konnektivet är ekvivalens, ”⟷”. Detta begrepp saknar egentligen ett ord i det naturliga språket men läses som ”om och endast om” (ofta förkortat omm). Ekvivalens är tydligt besläktad med implikation, men B händer här ”om och endast om” A, till skillnad från implikationens ”om A så B”. En sats med ekvivalens är sann om A och B har sammasanningsvärde i formaliseringen A ⟷ B. Annars är den logiskt falsk.
Satsen ”bilen svänger om jag vrider på ratten”, A ⟷ B, är ett exempel på ekvivalens då det inte finns något annat sätt för att få bilen att svänga utan att just vrida på ratten, och att vridande på ratten alltid resulterar i en svängande bil. (Exemplet utgår från att bilen inte står stilla eller kan få problem med styrningen.) Detta kan jämföras med satsen ”om jag äter för mycket godis får jag ont i magen” som är en implikation, A ➝ B, eftersom jag även kan få ont i magen utan att ha ätit för mycket godis.
Ett annat exempel på ekvivalens är satsen ”om och endast om solen skiner är himlen blå”.
Ekvivalens är ett relativt ovanligt konnektiv varför vi inte kommer gå in närmare på det här.
Fördjupning
För att kunna uttrycka mer komplicerade satser används exempelvis predikatlogik. Då använder man förutom satslogikens konnektiv även orden ”alla” [∀] och ”några” [∃] samt möjligheten att tillskriva variabler egenskaper.
Då kan man formulera satser som ”alla människor tycker om någon människa”:
∀x(M(x) → ∃y(M(y) ∧ T(x, y)))
Detta utläses ungefär ”för alla x, där x har egenskapen människa, existerar det någon (y) människa och tycker om (T), med egenskaperna människa och någon”.
Formalisera följande satser
- ”Räkningen är obetald.”
- ”Maten var varken god eller nyttig.”
- ”Om du pluggar satslogik så klarar du provet.”
- ”Endast om det finns vatten, finns det liv.”
- ”Om det inte finns vatten, så finns det inte liv.”
- ”Jag sysslar med satslogik utan att lyssna på musik.”
- ”Om jag lyssnar på musik då jag sysslar med satslogik kan jag koncentrera mig bättre.”
- ”Idag är det fint väder.”
- ”Det regnar men det snöar inte.”
- ”Om och endast om solen skiner är jag glad.”