Kurt Gödel
Ett exempel på hur logik används i filosofi finner vi hos den österrikiske filosofen och matematiken Kurt Gödel som på 1970-talet försökte bevisa guds existens. Beviset baseras på det klassiska ontologiska gudsbeviset (framfört av bland andra Descartes) – men av Gödel formaliserat till logik med hjälp av axiom, teorem, definitioner och slutsatser.
Axiom = En grundsats vars sanningshalt inte kan betvivlas.
Teorem = Ett teorem, också kallad sats på svenska, är ett påstående som bevisats logiskt. Exempel på detta är Pythagoras sats som gör gällande att för en rätvinklig triangels sidor så är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kvadraten på kateterna – eller a² + b² = c². Teorem baseras ofta på ett antal axiom.
Det klassiska ontologiska gudsbeviset
1. Gud är per definition det största tänkbara.
2. Antag att Gud inte existerar.
3. I så fall kan man tänka sig något som har alla Guds egenskaper, men som också existerar.
4. Detta något är i så fall större än Gud, eftersom det är större att existera än att inte existera.
5. Detta leder dock till en paradox, eftersom Gud ju per definition är det största tänkbara.
6. Antagandet att Gud inte existerar är alltså felaktigt.
Gödels ontologiska gudsbevis
Axiom 1: Either a property or its negation is positive, but not both.
Axiom 2: A property necessarily implied by a positive property is positive.
Teorem 1: Positive properties are possibly exemplified.
Definition 1: A God-like being possesses all positive properties.
Axiom 3: The property of being God-like is positive.
Därav följer: Possibly, God exists.
Axiom 4: Positive properties are necessarily positive.
Definition 2: An essence of an individual is a property possessed by it and necessarily implying any of its properties.
Teorem 2: Being God-like is an essence of any God-like being.
Definition 3: Necessary existence of an individual is the necessary exemplification of all its essences.
Axiom 5: Necessary existence is a positive property.
Teorem 3: Necessarily, God exists.
Gödels formalisering
Axiom 1: ∀φ[P(¬φ) ≡ ¬P(φ)]
Axiom 2: ∀φ∀ψ[(P(φ) ∧ ☐∀x[φ(x) ⊃ ψ(x)]) ⊃ P(ψ)]
Teorem 1: ∀φ[P(φ) ⊃ ∃xφ(x)]
Definition 1: G(x) ≡ ∀φ[P(φ) ⊃ φ(x)]
Axiom 3: P(G)
Därav följer: ∃xG(x)
Axiom 4: ∀φ[P(φ) ⊃ ☐ P(φ)]
Definition 2: φ ess. x ≡ φ(x) ∧ ∀ψ(ψ(x) ⊃ ☐∀y(φ(y) ⊃ ψ(y)))
Teorem 2: ∀x[G(x) ⊃ G ess. x]
Definition 3: NE(x) ≡ ∀φ[φ ess. x ⊃ ☐∃yφ(y)]
Axiom 5: P(NE)
Teorem 3: ☐∃xG(x)
Verkar det intressant? Vill du veta mer? Kika då på nedanstående (avancerade) genomgång av Gödels gudsbevis av Eric Pacuit vid Stanford University i USA.
ai.stanford.edu/~epacuit/talks/lmh-fitting-gg.pdf
