5.4 Sanningsvärdestabeller

Sanningsvärdetabeller

Hitintills har vi löst våra logiska problem genom ”huvudräkning”. På enklare frågor går detta i regel bra men så fort problemen blir komplexa behöver vi ett bättre sätt att se om resonemanget är giltigt eller ej.

Ludwig Wittgenstein (läs mer of honom i tidigare kapitel) utvecklade i början av 1900-talet ett sådant system – sanningsvärdetabeller. Detta är en teknik för att strukturera upp påståendets giltighet i en tabell och utifrån det kontrollera svaret.

Varje satslogiskt konnektiv har sin egen sanningsvärdetabell. Genom att skriva ut alla tänkbara variabler kan vi därefter helt enkelt kontrollera vad som gäller i ett visst fall.

Låt oss titta på ett mycket enkelt exempel. Vi utgår från påståendet ”det regnar”, formaliserat som A. Detta påstående kan i sin tur vara sant eller falskt, i sanningsvärdetabellen till höger (kolumn A) förkortat s respektive f.

Är detta faktum nu sant (dvs det faktiskt regnar) kan vi enkelt se att negationen av påståendet, vilket i det här fallet blir ”det regnar inte” (formaliserat som ¬A), måste bli falskt. Det sunda förnuftet håller med oss; om det regnar så skulle den som hävdar att det inte regnar ha fel.

logik-negation

 

På precis samma sätt som för negationen i tidigare exempel kan man göra en uträkning för de andra konnektiven med hjälp av följande sanningsvärdetabeller.

logik-sanningsvardetabeller

 

Dessa fem sanningsvärdetabeller kan vi sedan kombinera för att räkna på komplexa påståenden. Låt oss exemplifiera med formaliseringen (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ➝ B).

logik-exempel

 

 

Först börjar vi med att systematiskt katigorisera formaliseringens alla enheter i en sanningsvärdetabell. Vi utgår sedan från sanningsvärdet i en tidigare (relevant) kolumn för att räkna ut nästa värde.

Svaret blir att påståendet är falskt enbart om både A och B är falska, annars är det sant.

Inte svårt nog säger du? Låt oss då prova att formalaisera ett komplext argument i form av ett klassiskt så kallat ”anti-Guds-bevis”.

Om Gud är allsmäktig så finns det ingenting han inte kan göra. Han kan antingen bygga ett berg som är så stort att han inte kan flytta det eller så kan han inte det. Oavsett vilket så finns det något han inte kan göra.

Så, Gud är inte allsmäktig.

Steg 1: Hitta grundsatserna att formalisera

A = Gud är allsmäktig
B = Det finns något Gud inte kan göra.
C = Gud kan bygga ett berg som är så stort att han inte kan flytta det.

Steg 2: Komplettera formaliseringen med de satslogiska konnektiven

(A ➝ ¬B) ∧ (C ∨ ¬C) ∧ (C ➝ B) ∧ (¬C ➝ B)
¬A

Steg 3: Räkna på argumentets logiska sanning

logik-bevis

ÖVNING!